●范题精讲
一、等差数列的概念、通项公式
【例1】 等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50.
(1)求通项an;
(2)若Sn=242,求n.
分析：在等差数列中，有a1、an、n、d、Sn五个基本量，若已知其中的任何三个，总可以求出另外两个的值.
解：(1)由an=a1+(n－1)d,a10=30,a20=50,
得方程组
解得a1=12,d=2.
所以an=2n+10.
(2)由Sn=na1+ d,Sn=242,得方程12n+ ×2=242.
解得n=11或n=－22(舍去).
评注：本题是一个最基础的数列题，内容上只涉及等差数列的通项和前n项和.它主要考查等差数列的通项公式、求和公式以及构造方程的数学方法，考查运算能力.知识点较为单一，但高考中仍不乏这类考查目的明确、适应所有考生的中低档题.
二、等差数列性质的应用
【例2】 已知等差数列{an}为等差数列，p≠q,ap=q,aq=p,求ap+q.
分析：可先转化为a1和d去探索，也可利用等差数列性质求解，还可利用一次函数图象来解.
解法一：
相减得(p－q)d=q－p,∵p≠q,∴d=－1.代入①,
得a1=p+q－1.故ap+q=a1+(p+q－1)d=0.
解法二：ap=aq+(p－q)d,∴q=p+(p－q)d,以下同解法一.
解法三：不妨设p<q,由于an为关于n的一次函数图象上均匀排列的一群孤立点.故(p,ap)、(q,aq)、(p+q,ap+q)三点在同一直线上，如图.
由△ABE∽△BCF得(设ap+q=m)
∴1= .设m=0,得ap+q=0.
三、等差数列前n项和公式的应用
【例3】 设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,已知a3=12,S12＞0,S13＜0.
(1)求公差d的取值范围;
(2)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大，并说明理由.
(1)解：依题意有
由a3=12,得a1=12－2d.
又 － ＜d＜－3.
(2)解法一：由d＜0,可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13.
因此，若在1≤n≤12中，存在自然数n，使得an＞0,an+1＜0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.
由于S12=6(a6+a7)＞0,S13=13a7＜0,即a6+a7＞0,a7＜0,由此得a6＞－a7＞0.
故在S1，S2，…，S12中S6的值最大.
解法二：Sn=na1+ d
=n(12－2d)+ n(n－1)d= n2－( －12)n
= ［n－ (5－ )］2－ ［ (5－ )］2.
∵d＜0,∴［n－ (5－ )］2最小时，Sn最大.
当－ ＜d＜－3时，6＜ (5－ )＜6.5.
∴n=6时，［n－ (5－ )］2最小.
∴S6最大.
解法三：由d＜0,可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13.
因此，若在1≤n≤12中，存在自然数n，使得an＞0,an+1＜0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.
由已知
故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.
评注：第(2)题用了三种方法来解，解法一与解法三类似，只是确定a6＞0,a7＜0的方法不同，解法一技巧性强,解法二是把问题转化成了有限制条件的一元二次函数最值问题.
四、数列的应用
【例4】 某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术，预计第一年产量的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年增长率的一半，设此鱼塘里原来的鱼储存量为a.
(1)写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年、第四年的产量，并写出第n年与第(n－1)年(n∈N且n≥2)的产量之间的关系式(不要求证明).
(2)由于环境污染及池塘老化等因素，致使每年将损失年产量的10%，这样以后每年的产量是否始终逐年提高?若是，请予以证明；若不是，请说明从第几年起产量将不如上一年.(lg2=0.3010,lg3=0.4771)
解：(1)不妨设改进技术后第n年的产量为an，则
a1=a(1+200%)=3a,a2=a1(1+ ×200%)=6a,
a3=a2(1+ ×200%)=9a,a4=a3(1+ ×200%)= a.
依此，得an=an－1(1+ ×200%)=an－1［1+( )n－2］(n∈N*,n≥2).
(2)设遭损失后第n年的产量为bn,则
b1=a1(1－10%),b2=b1(1+ ×200%)(1－10%),…,
bn=bn－1［1+( )n－2］(1－10%).
令bn＜bn－1,则0.9［1+( )n－2］＜1 2n－2＞9,
∴n－2＞ ,即n＞5.17.由n∈N*知n≥6.
故从第6年起，产量将不如上一年.
评注：这是一道数列型应用题，审题时应抓住从第二年开始，"以后每年的增长率是前一年增长率的一半"这个关键，把它抽象为数列的通项，容易求出递推关系式an=an－1［1+ ( )n－2］(n∈N*且n≥2),即建成了递推模型.第(2)问归结为一个指数不等式问题，利用取对数法很容易求得这个数学问题的解.
●试题详解
高中同步测控优化训练(十一)
第三章 数列(一)(A卷)
说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，共100分，考试时间90分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.在100至500之间的正整数能被11整除的个数为
A.34 B.35 C.36 D.37
解析：观察出100至500之间能被11整除的数为110，121，132，…，它们构成一个等差数列，公差为11，an=110+(n－1)•11=11n+99,由an≤500,解得n≤36.4,n∈N*,∴n≤36.
答案：C
2.在数列{an}中，a1=1,an+1=an2－1(n≥1),则a1+a2+a3+a4+a5等于
A.－1 B.1 C.0 D.2
解析：由已知：an+1=an2－1=(an+1)(an－1),
∴a2=0,a3=－1,a4=0,a5=－1.
答案：A
3.若数列{an}的前n项和Sn=n2－2n+3，则此数列的前3项依次为
A.－1,1,3 B.2,1,3
C.6,1,3 D.2,3,6
解析：当n=1时，a1=S1=12－2×1+3=2;
当n=2时，由S2=a1+a2=22－2×2+3,得a2=1;
当n=3时，由S3=a1+a2+a3=32－2×3+3,得a3=3.
答案：B
4.设函数f(x)满足f(n+1)= (n∈N*)且f(1)=2,则f(20)为
A.95 B.97 C.105 D.192
解析：f(n+1)－f(n)=
各式相加得f(20)－f(1)= (1+2+…+19) f(20)=95+f(1)=97.
答案：B
5.已知等差数列｛an｝中公差d≠0.若n≥2,n∈N*,则
A.a1an+1＜a2an B.a1+an+1＞a2+an
C.a1+an+1＜a2+an D.a1an+1＞a2an
解析：a1an+1－a2an=a1(a1+nd)－(a1+d)［a1+(n－1)d］=－(n－1)d2＜0,∴a1an+1＜a2an.
答案：A
6.等差数列｛an｝中，a4+a7+a10=57,a4+a5+…+a14=275,ak=61,则k等于
A.18 B.19 C.20 D.21
解析：∵3a7=a4+a7+a10=57,∴a7=19.由a4+a5+…+a14=275,可得a9=25.∴公差d=3. ∵ak=a9+(k－9)•d,∴61=25+(k－9)×3,解得k=21.
答案：D
7.已知等差数列{an}的公差为正数，且a3•a7=－12,a4+a6=－4,则S20为
A.180 B.－180
C.90 D.－90
解析：由等差数列性质，a4+a6=a3+a7=－4与a3•a7=－12联立，即a3、a7是方程x2+4x－12=0的两根.又公差d>0,∴a7>a3 a7=2,a3=－6,从而得a1=－10,d=2,S20=180.
答案：A
8.设Sn是等差数列前n项的和，若 ,则 等于
A.1 B.－1
C.2 D.
解法一：∵ ,∴ = .
∴ .
解法二：∵ ,
∴
答案：A
9.已知｛an｝是递增数列，且对任意n∈N*都有an=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是
A.(－ ,+∞) B.(0,+∞)
C.(－2,+∞) D.(－3,+∞)
解析：由｛an｝为递增数列得an+1－an=2n+1+λ＞0恒成立,即λ＞－2n－1在n≥1时恒成立，只需λ＞(－2n－1)max=－3,故选D.
答案：D
10.在等差数列{an}中，若S9=18,Sn=240,an－4=30,则n的值为
A.14 B.15
C.16 D.17
解析：S9= =18 a1+a9=4 2(a1+4d)=4.
∴a1+4d=2.又an=an－4+4d,∴Sn= =16n=240.
∴n=15.
答案：B
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
11.设数列{an}的前n项和为Sn,Sn= (n∈N*),且a4=54,则a1的值是________.
解析：∵a4=S4－S3,
∴ =54.∴a1=2.
答案：2
12.若数列｛an｝的前n项和Sn=lg［ (1+n)］,则a10+a11+a12+…+a99=_________.
解析：a10+a11+…+a99=S99－S9=lg( •100)－lg( •10)=1－0=1.
答案：1
13.在－9和3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为－21的等差数列，则n=_______.
解析：－21= ,∴n=5.
答案：5
14.等差数列{an}中，a1+a2+a3=－24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项的和等于________.
解析：由a1+a2+a3=－24,可得3a2=－24;
由a18+a19+a20=78,可得3a19=78,即a2=－8,a19=26.
∴S20= =10(a2+a19)=10(－8+26)=180.
答案：180
三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分8分)已知数列｛an｝满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式.
(1)a1=0,an+1=an+(2n－1);
(2)a1=1,an+1= .
解：(1)∵a1=0,an+1=an+(2n－1),
∴a2=a1+(2×1－1)=0+1=1,a3=a2+(2×2－1)=4,a4=a3+(2×3－1)=9,a5=a4+(2×4－1)=16.
∴它的前5项依次是0，1，4，9，16.又可写成(1－1)2,(2－1)2,(3－1)2,(4－1)2,(5－1)2.
故该数列的一个通项公式是an=(n－1)2.
(2)∵a1=1,an+1= ,
∴a2= ,
a4=
∴它的前5项依次是1, .
又可写成
故它的一个通项公式为an= .
16.(本小题满分10分)已知等差数列｛an｝中，a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求其通项an.
解：∵a1+a7=2a4,且a1+a4+a7=15,∴a4=5.
又∵a2a4a6=45,∴a2a6=9.
设其公差为d,又a4=5,∴a2=a4－2d,a6=a4+2d.代入a2a6=9可得
(5－2d)(5+2d)=9 25－4d2=9 d=±2.
当d=2时，an=a4+(n－4)d=5+(n－4)×2=2n－3(n∈N*);
当d=－2时，an=a4+(n－4)d=5+(n－4)×(－2)=13－2n(n∈N*).
17.(本小题满分12分)数列的通项公式为an=n2－5n+4，问:
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值.
解：(1)由an为负数，得n2－5n+4<0,解得1<n<4.
∵n∈N*,故n=2或3，即数列有2项为负数，分别是第2项和第3项.
(2)∵an=n2－5n+4=(n－ )2－ ,
∴对称轴为n= =2.5.
又∵n∈N*,故当n=2或n=3时，an有最小值，最小值为22－5×2+4=－2.
18.(本小题满分12分)有30根水泥电线杆，要运往1000米远的地方开始安装，在1000米处放一根，以后每隔50米放一根，一直向前放.一辆汽车一次最多运三根，如果用一辆车完成这项任务，从开始运第一车算起，运完货后回到起点，这辆汽车的行程是多少千米？
解：设在运完第3(n－1)至3n(其中1≤n≤10且n∈N*)根且返回起点时，这辆汽车的行程为an米，则根据题意得a1=(1000+50+50)×2=2×1100,a2=(1100+50+50+50)×2=2(1100+150),a3=(1100+150+50+50+50)×2=2(1100+300),….
∴{an}是以2×1100为首项，150为公差的等差数列.从而行程为s10=(1100×10+ ×10×9×150)×2=35500.
答：这辆汽车的行程是35500千米.
19.(本小题满分12分)设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若首项a1= ,公差d=1,求满足Sk2=(Sk)2的正整数k;
(2)求所有的无穷等差数列{an}，使得对一切正整数k都有Sk2=(Sk)2成立.
解：(1)当a1= ,d=1时，
Sn=na1+
由Sk2=(Sk)2,得 k4+k2=( k2+k)2,
即k3( k－1)=0.又∵k≠0,∴k=4.
(2)设等差数列{an}的公差为d,则在Sk2=(Sk)2中，分别取k=1,2,得
即
由①得a1=0或a1=1.
当a1=0时，代入②得d=0或d=6.
若a1=0,d=0,则an=0,Sn=0,从而Sk2=(Sk)2成立；
若a1=0,d=6,则an=6(n－1),Sn=3n2－3n.此时Sk2=3k4－3k2,(Sk)2=(3k2－3k)2,显然Sk2≠(Sk)2.
当a1=1时，代入②式得d=0或d=2.
若a1=1,d=0时，an=1,Sn=n,从而Sk2=(Sk)2成立；
若a1=1,d=2时，an=2n－1,Sn=1+3+…+(2n－1)=n2,从而Sk2=(Sk)2成立.
综上，共有3个满足条件的无穷等差数列，它们是an=0,an=1,an=2n－1.
唐山家教 ，唐山家教老师，唐山家教兼职，唐山家教中心哪家好 - 找唐山启航家教网 - 微信/电话：159-0203-8323 孙老师
唐山家教区域：萝岗区家教 越秀区家教 海珠区家教 天河区家教 白云区家教 荔湾区家教 黄埔区家教 番禺区家教 花都区家教 南沙区家教 从化市家教 增城市家教
其它地区： 番禺市桥家教 番禺大石家教 番禺石基家教 番禺石楼家教 番禺南村家教 番禺钟村家教 番禺沙湾家教 番禺新造家教 番禺大岗家教 番禺榄核家教 番禺洛溪家教 荔湾区芳村家教 天河区岑村家教 萝岗区开发区家教 天河公园家教 番禺区南站家教 天河区棠东家教 番禺区祈福新村家教 海珠区鹭江家教 海珠区南岸路家教 白云区罗冲围家教 天河区林和东路家教 海珠区晓港家教 海珠区盈丰路家教 天河区五山家教 海珠区滨江东路家教 天河区汇景新城家教 天河区员村家教 越秀区动物园家教 海珠区唐山大道南家教 越秀区五羊新城家教 越秀区东山口家教 天河区天河城家教 越秀区环市东路家教 越秀区黄花岗家教 芳村花园家教 白云区机场东路家教 天河区燕塘家教 海珠区棠下家教 锦绣云湾家教 越秀区盘福路家教 天河区华鼎新城家教 海珠区工业大道家教 番禺区锦绣香江家教 海珠区同福路家教 荔湾区黄沙大道家教 天河区龙都花园家教 天河区珠江苑家教 荔湾区陈家祠家教 越秀区花地湾家教 萝岗区博罗新村家教 越秀区唐山大道中家教 海珠区金星花园家教 天河区冼村家教 海珠区客村家教 白云区人和地铁站家教 海珠区金逸花园家教 天河区骏景花园家教 荔湾区龙津中路家教 天河区富力公园家教 天河区沙河顶家教 越秀区雅景园家教 黄浦大沙地家教 天河石牌家教 海珠新港西家教 越秀小北家教 天河体育中心家教 天河岗顶家教 海珠赤岗家教 天河珠江新城家教 番禺启航家教 荔湾西村家教 天河车陂家教
学校：暨南大学家教 中山大学家教 华南理工大学家教 华南师范大学家教 广东工业大学家教 唐山大学家教 广东金融学院家教 华南农业大学家教 广东广播电视大学家教 广东外语外贸大学家教 唐山美术学院家教 唐山中医药大学家教 唐山医学院家教 第一军医大学家教 私立华联学院家教 广东建华职业学院家教 广东轻工职业技术学院家教 民办培正商学院家教 广东技术师范学院家教 唐山体育学院家教 广东商学院家教 广东药学院家教 广东医学院家教 仲恺农业技术学院家教 民办南华工商学院家教 广东松山职业技术学院家教 广东第二师范学院家教 嘉应学院家教 南方医科大学家教 广东财经大学家教
科目：理科家教 文科家教 数学家教 语文家教 物理家教 化学家教 英语家教 历史家教 地理家教 政治家教 钢琴家教 美术家教 书法家教 网球家教 日语家教 托福家教 雅思家教 计算机家教 韩语家教 奥数家教 吉他家教 围棋家教 英语口语家教 法语家教 德语家教 成人家教 外教家教 幼儿家教 作文家教
编辑者：唐山家教（唐山家教网)
