一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)
1.sin 600°+tan 240°的值是________.
2.已知一扇形的弧所对的圆心角为54°,半径r=20 cm,则扇形的周长为________cm.
3.已知点Psin34π,cos34π落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为________.
4.已知tan α=34,α∈π,32π,则cos α的值是________.
5.已知sin(2π-α)=45,α∈(3π2,2π),则sin α+cos αsin α-cos α=________.
6.已知a是实数,则函数f(x)=1+asin ax的图象可能是________.(填图象对应的序号)
7.为了得到函数y=sin2x-π6的图象,可以将函数y=cos 2x的图象向________平移______个单位长度得到.(答案不唯一)
8.若点P(sin α-cos α,tan α)在第一象限,则在[0,2π)内α的取值范围是________.
9.方程sin πx=14x的解的个数是________.
10.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示,则f(7π12)=________.
11.已知函数y=sinπx3在区间[0,t]上至少取得2次最大值,则正整数t的最小值是________.
12.已知函数y=2sin(ωx+θ)(0<θ<π)为偶函数,其图象与直线y=2的某两个交点横坐标为x1、x2,若|x2-x1|的最小值为π,则ω=________,θ=________.
13.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(4π3,0)中心对称,那么|φ|的最小值为________.
14.设ω>0,函数y=sin(ωx+π3)+2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合,则ω的最小值是______.
二、解答题(本大题共6小题,共90分)
15.(14分)求函数y=3-4sin x-4cos2x的最大值和最小值,并写出函数取最值时对应的x的值.
16.(14分)已知函数y=acos2x+π3+3,x∈0,π2的最大值为4,求实数a的值.
17.(14分)已知α是第三象限角,f(α)=sinπ-α•cos2π-α•tan-α-πtan-α•sin-π-α.
(1)化简f(α);
(2)若cosα-32π=15,求f(α)的值;
(3)若α=-1 860°,求f(α)的值.
18.(16分)如图所示,函数y=2cos(ωx+θ)(x∈R,ω>0,0≤θ≤π2)的图象与y轴交于点(0,3),且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值;
(2)已知点A(π2,0),点P是该函数图象上一点,点Q(x0,y0)是PA的中点,当y0=32,x0∈[π2,π]时,求x0的值.
19.(16分)在已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R其中A>0,ω>0,0<φ<π2的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为π2,且图象上一个最低点为M2π3,-2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈π12,π2时,求f(x)的值域.
20.(16分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0且ω>0,0<φ<π2)的部分图象,如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若方程f(x)=a在0,5π3上有两个不同的实根,试求a的取值范围.
第1章 三角函数(A)
1.32
2.6π+40
解析 ∵圆心角α=54°=3π10,∴l=|α|•r=6π.
∴周长为(6π+40) cm.
3.7π4 4.-45
5.17
解析 sin(2π-α)=-sin α=45,∴sin α=-45.
又α∈(3π2,2π),∴cos α=35.
∴sin α+cos αsin α-cos α=17.
6.①②③
解析 当a=0时f(x)=1,③符合,
当0<|a|<1时T>2π,①符合,
当|a|>1时T<2π,②符合.
7.右 π3
解析 y=sin2x-π6=cosπ2-2x-π6
=cos2π3-2x=cos2x-23π=cos2x-π3.
8.π4,π2∪π,5π4
解析 sin α-cos α>0且tan α>0,
∴α∈π4,π2或α∈π,54π.
9.7
解析 在同一坐标系中作出y=sin πx与y=14x的图象观察易知两函数图象有7个交点,所以方程有7个解.
10.0
解析 方法一 由图可知,32T=5π4-π4=π,即T=2π3,∴ω=2πT=3.∴y=2sin(3x+φ),
将(π4,0)代入上式sin(3π4+φ)=0.
∴3π4+φ=kπ,k∈Z,则φ=kπ-3π4.
∴f(7π12)=2sin(7π4+kπ-3π4)=0.
方法二 由图可知,32T=5π4-π4=π,即T=2π3.
又由正弦图象性质可知,若f(x0)=f(x0+T2)=0,
∴f(7π12)=f(π4+π3)=f(π4)=0.
11.8
解析
T=6,则5T4≤t,
∴t≥152,∴tmin=8.
12.2 π2
解析 ∵y=2sin(ωx+θ)为偶函数,∴θ=π2.
∵图象与直线y=2的两个交点横坐标为x1,x2,
|x2-x1|min=π,即Tmin=π,
∴2πω=π,ω=2.
13.π6
解析 ∵y=3cos(2x+φ)的图象关于点(4π3,0)中心对称,即3cos(2×4π3+φ)=0,
∴8π3+φ=π2+kπ,k∈Z.
∴φ=-13π6+kπ.∴当k=2时,|φ|有最小值π6.
14.32
解析 由函数向右平移43π个单位后与原图象重合,得43π是此函数周期的整数倍.又ω>0,
∴2πω•k=43π,∴ω=32k(k∈Z),∴ωmin=32.
15.解 y=3-4sin x-4cos2x=4sin2x-4sin x-1
=4sin x-122-2,令t=sin x,则-1≤t≤1,
∴y=4t-122-2 (-1≤t≤1).
∴当t=12,即x=π6+2kπ或x=5π6+2kπ(k∈Z)时,
ymin=-2;
当t=-1,即x=3π2+2kπ (k∈Z)时,ymax=7.
16.解 ∵x∈0,π2,∴2x+π3∈π3,4π3,
∴-1≤cos2x+π3≤12.
当a>0,cos2x+π3=12时,y取得最大值12a+3,
∴12a+3=4,∴a=2.
当a<0,cos2x+π3=-1时,y取得最大值-a+3,
∴-a+3=4,∴a=-1,
综上可知,实数a的值为2或-1.
17.解 (1)f(α)=sin α•cos-α•[-tanπ+α]-tan α[-sinπ+α]
=-sin α•cos α•tan α-tan α•sin α=cos α.
(2)∵cosα-32π=cos32π-α=-sin α,
又cosα-32π=15,∴sin α=-15.
又α是第三象限角,
∴cos α=-1-sin2α=-265,
∴f(α)=-265.
(3)f(α)=f(-1 860°)=cos(-1 860°)
=cos 1 860°=cos(5×360°+60°)=cos 60°=12.
18.解 (1)将x=0,y=3代入函数y=2cos(ωx+θ)中,得cos θ=32,
因为0≤θ≤π2,所以θ=π6.
由已知T=π,且ω>0,得ω=2πT=2ππ=2.
(2)因为点A(π2,0),Q(x0,y0)是PA的中点,
y0=32,所以点P的坐标为(2x0-π2,3).
又因为点P在y=2cos(2x+π6)的图象上,且π2≤x0≤π,
所以cos(4x0-5π6)=32,且7π6≤4x0-5π6≤19π6,
从而得4x0-5π6=11π6,或4x0-5π6=13π6,即x0=2π3,或x0=3π4.
19.解 (1)由最低点为M2π3,-2得A=2.
由x轴上相邻两个交点之间的距离为π2,
得T2=π2,即T=π,∴ω=2πT=2ππ=2.
由点M2π3,-2在图象上得2sin2×2π3+φ=-2,
即sin4π3+φ=-1,
故4π3+φ=2kπ-π2(k∈Z),
∴φ=2kπ-11π6(k∈Z).
又φ∈0,π2,∴φ=π6,
故f(x)=2sin2x+π6.
(2)∵x∈π12,π2,∴2x+π6∈π3,7π6,
当2x+π6=π2,即x=π6时,f(x)取得最大值2;
当2x+π6=7π6,即x=π2时,f(x)取得最小值-1,
故f(x)的值域为[-1,2].
20.解 (1)由图象易知函数f(x)的周期为
T=4×7π6-2π3=2π,A=1,所以ω=1.
方法一 由图可知此函数的图象是由y=sin x的图象向左平移π3个单位得到的,故φ=π3,所以函数解析式为f(x)=sinx+π3.
方法二 由图象知f(x)过点-π3,0,
则sin-π3+φ=0,∴-π3+φ=kπ,k∈Z.
∴φ=kπ+π3,k∈Z,
又∵φ∈0,π2,∴φ=π3,
∴f(x)=sinx+π3.
(2)方程f(x)=a在0,5π3上有两个不同的实根等价于y=f(x)与y=a的图象在0,5π3上有两个交点,在图中作y=a的图象,如图为函数f(x)=sinx+π3在0,5π3上的图象,当x=0时,f(x)=32,当x=5π3时,f(x)=0,由图中可以看出有两个交点时,a∈32,1∪(-1,0).
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